Probabilités
TP 1 - Calcul probabiliste

A. Ridard

Objectif : résoudre, par simulation, les exercices du cours.

In [1]:
import numpy as np
import numpy.random as npr

Exemple

On lance trois fois une pièce équilibrée.

Déterminer la probabilité d'obtenir deux fois Pile.

L'idée est de considérer l'événement que l'on souhaite mesurer comme étant un succès, et de déclarer :

  • une fonction estUnSucces() qui retourne 1 en cas de succès (obtenir deux fois Pile) et 0 sinon
  • une fonction freqDuSucces($n$) qui retourne la fréquence du succès sur $n$ réalisations de l'expérience aléatoire

Plus $n$ est grand et plus la fréquence obtenue est proche de la probabilité.
On justifiera cette approximation à l'aide de la Loi Forte des Grands Nombres (LFGN) lors d'un prochain TP.

In [2]:
def estUnSucces_0() :
    res = 0
    # pour générer un tableau (de dimension 1 et de longueur 3) de nombres aléatoires, on utilise numpy.random
    if sum(npr.randint(0,2,3)) == 2 :
        res = 1
    return(res)

"""
# Avec le typage dynamique de Python, on pourrait se contenter de :

def estUnSucces_0() :
    return(sum(npr.randint(0,2,3)) == 2)
"""

def freqDuSucces_0(n) :
    lstRes = [estUnSucces_0() for i in range(n)]
    return(sum(lstRes)/n)

print('La probabilité demandée est proche de', freqDuSucces_0(1000))

La probabilité demandée est proche de 0.403

Exercice 1

Une urne contient $n$ boules blanches et $n$ boules rouges.
On tire successivement et sans remise $n$ boules dans cette urne.

Déterminer la probabilité qu'une boule rouge figure dans ce tirage.

In [4]:
# Réponse

Exercice 2

On dispose de six urnes numérotées de 1 à 6.
L'urne numéro $k$ comporte $k$ boules blanches et une boule rouge.
Un joueur lance un dé équilibré puis choisit une boule dans l'urne correspondant au résultat du dé.

Déterminer la probabilité que la boule tirée soit blanche.

In [5]:
# Réponse

Exercice 3

Une urne contient deux dés : l'un est équilibré et l'autre donne systématiquement un 6.
On choisit un dé dans l'urne et on le lance.

En supposant que le dé lancé donne un 6, déterminer la probabilité que ce dé soit équilibré.

In [6]:
# Réponse

Exercice 4 : problème de Monty Hall

Le jeu oppose un présentateur à un candidat (le joueur). Ce joueur est placé devant trois portes fermées. Derrière l'une d'elles se trouve une voiture (ou tout autre prix magnifique) et derrière chacune des deux autres se trouve une chèvre (ou tout autre prix sans importance). Il doit tout d'abord désigner une porte. Puis le présentateur doit ouvrir une porte qui n'est ni celle choisie par le candidat, ni celle cachant la voiture (le présentateur sait quelle est la bonne porte dès le début). Le candidat a alors le droit ou bien d'ouvrir la porte qu'il a choisie initialement, ou bien d'ouvrir la troisième porte.

Que doit faire le candidat ? Quelles sont ses chances de gagner la voiture en agissant au mieux ?

In [7]:
# Réponse