Probabilités
TP 3 - Couples de v.a. finies

A. Ridard

Objectif : résoudre, par simulation, les exercices du TD 3

Pour l'affichage des tableaux, on pourra s'inspirer du code suivant :

In [ ]:
import numpy as np
import pandas

tab = np.array([
    [85, 86, 87, 88],
    [90, 191, 192, 93], 
    [95, 96, 97, 98]]) 

row_labels = ['X', 'Y', 'Z'] 
column_labels = ['A', 'B', 'C', 'D'] 

df = pandas.DataFrame(tab, columns=column_labels, index=row_labels)
df
A B C D
X 85 86 87 88
Y 90 191 192 93
Z 95 96 97 98

Exercice 1

On considère le couple $\textbf{Z}=(X,Y)$ dont la loi conjointe est définie par :

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & Y=0 & Y=1 & Y=2 \\ \hline X=-1 & \frac{1}{10} & \frac{2}{10} & \frac{1}{10} \\ \hline X=0 & \frac{3}{10} & 0 & \frac{1}{10} \\ \hline X=1 & 0 & \frac{1}{10} & \frac{1}{10} \\ \hline \end{array}$

Définir une fonction monGenerateur1 permettant de générer une réalisation de $(X,Y)$.

In [ ]:
# Votre réponse

Définir une fonction monEchantillon1 permettant de générer un grand nombre de réalisations de $(X,Y)$.

In [ ]:
# Votre réponse

Construire le tableau de la loi (empirique) conjointe de $(X,Y)$ augmenté avec les lois (empiriques) marginales.

In [ ]:
# Votre réponse

Construire le tableau de l'espérance (empirique) de $(X,Y)$.

In [ ]:
# Votre réponse

Construire le tableau des lois (empiriques) conditionnelles de $X$.

In [ ]:
# Votre réponse

Construire le tableau des lois (empiriques) conditionnelles de $Y$.

In [ ]:
# Votre réponse

Représenter graphiquement la loi (empirique) de la v.a. $E(Y|X)$

In [ ]:
# Votre réponse

Représenter graphiquement la loi (empirique) de la v.a. $E(X|Y)$

In [ ]:
# Votre réponse

Construire le tableau de la variance (empirique) de $(X,Y)$.

In [ ]:
# Votre réponse

Exercice 2

À un péage autoroutier $n$ voitures franchissent au hasard et indépendamment l'une des trois barrières de péage mises à leur disposition.
On note $X_{1} ,X_{2} ,X_{3}$ les variables aléatoires dénombrant les voitures ayant franchi ces barrières.

Définir une fonction monGenerateur2 permettant de générer une réalisation de $(X_1,X_2)$.

In [ ]:
# Votre réponse

Définir une fonction monEchantillon2 permettant de générer un grand nombre de réalisations de $(X_1,X_2)$.

In [ ]:
# Votre réponse

Construire le tableau de la variance (empirique) de $(X_1,X_2)$.

In [ ]:
# Votre réponse

Exercice 3

Un étudiant résout un QCM constitué de 5 questions offrant chacune quatre réponses possibles.
Pour chaque question, et indépendamment les unes des autres, il a la probabilité $p$ de savoir résoudre celle-ci.
Si en revanche il ne sait pas résoudre la question, il choisit au hasard l'une des quatre réponses possibles.

On considère :

  • le nombre $X$ de questions qu'il savait résoudre
  • le nombre $Y$ de questions qu'il a correctement résolues au hasard
  • $Z=X+Y$

Définir une fonction monGenerateur3 permettant de générer une réalisation de $(X,Y)$.

In [ ]:
# Votre réponse

Définir une fonction monEchantillon3 permettant de générer un grand nombre de réalisations de $(X,Y)$.

In [ ]:
# Votre réponse

Construire le tableau de la loi (empirique) de $X$.

In [ ]:
# Votre réponse

Construire le tableau des lois (empiriques) conditionnelles de $Y$.

In [ ]:
# Votre réponse

Construire le tableau de la loi (empirique) de $Z$.

In [ ]:
# Votre réponse

Si une bonne réponse rapporte 2 points, qu'une mauvaise réponse retire 1 point, quelle note (sur 10) peut-il espérer obtenir ?

In [1]:
# Votre réponse