M4202C - Statistique inférentielle
TP - Tests d'hypothèses

2019/2020 - A. RIDARD

Avant de commencer les tests

Importation des modules

In [1]:
import os # pour gérer les répertoires
import numpy as np # pour quelques fonctions mathématiques et pour stocker les données
import scipy.stats as sps # pour toutes les fonctions statistiques (moyenne, variance, tests, ...)

Lecture des données dans un fichier .txt

In [2]:
os.chdir('D:\\Users\\ridard\\Desktop') # on change le répertoire de travail
f=open('data_1.txt','r') # on ouvre le fichier en mode lecture
lst=f.readlines()
x=''
for ligne in lst:
    x=x+ligne
f.close()
x
Out[2]:
'1695\t2202\t2722\t2534\t2494\t2648\t2298\t1997\t2118\t2767\n2867\t2391\t2029\t2121\t2105\t2565\t2652\t2497\t2822\t2713\n2014\t2350\t2343\t2398\t2505\t2630\t2169\t2661\t2325\t2031\n2683\t2328\t2710\t2417\t2264\t2299\t2531\t2423\t2592\t2577\n2568\t1992\t2872\t2603\t2415\t2072\t2475\t2089\t2140\t2720\n'

Stockage des données dans un tableau numpy

In [3]:
y=x.replace('\n','\t')
lst=y[:-1].split('\t')
lstc=lst[:]
for i in range(len(lst)):
    lstc[i]=eval(lst[i])
data=np.array(lstc)
data
Out[3]:
array([1695, 2202, 2722, 2534, 2494, 2648, 2298, 1997, 2118, 2767, 2867,
       2391, 2029, 2121, 2105, 2565, 2652, 2497, 2822, 2713, 2014, 2350,
       2343, 2398, 2505, 2630, 2169, 2661, 2325, 2031, 2683, 2328, 2710,
       2417, 2264, 2299, 2531, 2423, 2592, 2577, 2568, 1992, 2872, 2603,
       2415, 2072, 2475, 2089, 2140, 2720])

Description statistique des données

In [4]:
sps.describe(data)
Out[4]:
DescribeResult(nobs=50, minmax=(1695, 2872), mean=2408.6599999999999, variance=73987.208571428564, skewness=-0.3432569718756301, kurtosis=-0.5784175026497564)

Test de normalité pour savoir si un échantillon peut être supposé gaussien

Test de normalité à partir des coefficients d'asymétrie (skewness) et d'applatissement (kurtosis)

In [5]:
sps.normaltest(data)
Out[5]:
NormaltestResult(statistic=1.815472334971608, pvalue=0.40343650369431905)

La première composante de la réponse (statistic) est la réalisation $w$ de la variable de décision du test $W$
La deuxième (pvalue) est la probabilité sous $H_0$ (l'échantillon est gaussien) d'avoir $|W|>|w|$, c'est la p-value bilatérale

On peut alors rejeter $H_0$ dès que la p-value est inférieure à l'erreur de première espèce $\alpha$, mais attention il s'agit là d'un test bilatéral

NB : pour récupérer la p-value unilatérale, il suffit de diviser par deux la p-value fournie par Python !

Test de normalité de Shapiro-Wilk

In [6]:
sps.shapiro(data)
Out[6]:
(0.9690803289413452, 0.2122964859008789)

Test de conformité de la moyenne d'une gaussienne

Directement

In [7]:
sps.ttest_1samp(data,2400) # cf. exercice du cours
Out[7]:
Ttest_1sampResult(statistic=0.22512543915704525, pvalue=0.822817950327982)

A la main

D'abord, on calcule la réalisation $w$ de la variable de décision $W$

In [8]:
stat=sps.describe(data)
n,moyEmp,varEmpC=stat.nobs,stat.mean,stat.variance
w=(moyEmp-2400)/np.sqrt(varEmpC/n)
w
Out[8]:
0.22512543915704525

Ensuite, on calcule la valeur critique c'est à dire l'extrémité de la zone de rejet (test unilatéral à droite avec une erreur de première espèce égale à 5%)

In [9]:
alpha=0.05
dl=n-1
valCrit=sps.t.ppf(1-alpha,dl)
valCrit
Out[9]:
1.6765508919142629

On décide

In [10]:
if w>valCrit:
    print('On rejette H0')
else :
    print('Aucune raison de rejeter H0')

Aucune raison de rejeter H0

On peut aussi retrouver la p-value bilatérale fournie par Python

In [11]:
pValBil=(1-sps.t.cdf(np.abs(w),dl))*2
pValBil
Out[11]:
0.822817950327982

Test de conformité de la variance d'une gaussienne

Ecrire un script permettant de répondre à l'exercice du cours (toujours le même) concernant la variance.

In [ ]:
# Réponse

Test de comparaison de moyennes de deux gaussiennes indépendantes (ex 3 du TD2)

Dans le cas de variances inconnues supposées égales

D'abord, on récupère l'échantillon $A$ puis on regarde s'il peut être supposé gaussien

In [ ]:
f=open('data_2A.txt','r')
x=f.readline()
f.close()

y=x.replace(',','.')
lst=y[:-1].split('\t')
lstc=lst[:]
for i in range(len(lst)):
    lstc[i]=eval(lst[i])
    
data_A=np.array(lstc)

sps.shapiro(data_A)

Idem avec l'échantillon $B$

In [ ]:
f=open('D:\\Users\\ridard\\Desktop\\data_2B.txt','r')
x=f.readline()
f.close()

y=x.replace(',','.')
lst=y[:-1].split('\t')
lstc=lst[:]
for i in range(len(lst)):
    lstc[i]=eval(lst[i])
    
data_B=np.array(lstc)

sps.shapiro(data_B)

Directement

In [ ]:
sps.ttest_ind(data_A,data_B,equal_var=True) # le dernier paramètre précise l'égalité supposée des variances inconnues

Déterminer la p-value unilatérale et conclure

In [ ]:
# Réponse

A la main

Ecrire un script réalisant le test précédent à la main

In [ ]:
# Réponse

Test de comparaison de variances de deux gaussiennes indépendantes

Ecrire un script réalisant le test de comparaison de variances pour retrouver le fait que les variances inconnues peuvent être supposées égales

In [ ]:
# Réponse